Application de série de fourier à l'intégration de quelques EDP linéaires du second ordre

II.3. SERIES DE FOURIER

Définition 2. 2 [8] soit une fonction définie sur R à valeurs réelles, intégrable sur tout intervalle de longueur

Nous nous proposons d'étudier l'existence et l'unicité d'une s&rie trigonométrique convergent en tout point x deR et telle que

Supposons d'abord qu'il existe une telle série trigonométrique. Nous allons montrer que l'on peut démontrer les coefficients d'une manière et d'une seule. L'unicité de la série trigonométrique cherchée.

Cette méthode nous fournira en même temps des formules constamment utilisées en pratique pour le calcul effectif des coefficients.

Calcul de : Intégrons les deux membres de la relation entre

Admettons que l'on puisse intervertir les symboles

Puisque, pour tout entier naturel non nul n,

D'où,

Cette intégrale n'est autre que la valeur moyenne de sur l'intervalle considéré.

Calcul de Multiplions les deux membres de par et intégrons entre et

Intégrons les symboles

Par orthogonalité des fonctions et pour tout

Ainsi que celle des fonctions et pour tout entier autre que ,

D'où,

Car

Aux notations près, pour tout naturel non nul n,

Calcul de [8] Multiplions les deux membres de par puis intégrons entre .

Admettons que l'on intervertisse les symboles

Par orthogonalité des fonctions pour tout entier autre que

Ainsi que celle des fonctions et pour tout entier autre que ,

D'où,

Car

Aux notations près, pour tout naturel non nul n,

Exemple 2. 2 [1] considérons une fonction Trouver sa série de Fourier.

Solution : calculons d'abord les coefficients de Fourier.

En intégrant par parties, posons :

Posons toujours en intégrant par parties

Donc, la série de Fourier de la fonction donnée est :

Si est paire,

Si est impaire,

II.4 CONVERGENCE ET SOMME DES SERIES DE FOURIER

Théorème 2. 1[8] (de Lejeune-Dirichlet) : soit une fonction numérique définie sur R, admettant pour période, continûment dérivable sur le complémentaire d'une partie finie On suppose que admettent des limites à gauche et des limites à droite en tout point de . Alors la série de Fourier de converge en tout point sa somme est égale à

C'est-à-dire à la somme des limites à gauche et à droite de au point

En particulier, en tout point est continue,

En plus, si est continue sur , la série de Fourier de converge absolument et uniformément vers .

Démonstration : dans [8], le théorème 2.1 assurant l'existence d'un développement en série de Fourier est énoncé sans démonstration. Nous nous aspirons de [1] alors pour le démontrer.

Pour tout réel , notons la limite de à gauche en

la limite de à droite en et

(

Notons que est un point où est continue, alors Pour montrer que le théorème 2.1, nous allons montrer que la suite des sommes partielles associée à la série de Fourier de converge et a pour limite

D'après la formule de Dirichlet, la somme partielle en est donnée par

Où est une fonction définie sur par

Puisque

Et que

On a (t) dt.

Considérons la fonction de dans R définie par

Comme par hypothèse est dérivable par morceaux, les deux limites suivantes existent :

De plus comme on a :

Ainsi, la fonction est prolongeable par continuité en 0 en posant . Comme est et dérivable par morceaux sur 0, et par conséquent intégrable sur 0, . On déduit que :

Ainsi donc, la suite converge et a pour limite