En physique, on rencontre des fonctions admettant une
période pour tout nombre réel
La variable représente souvent le temps.
On se ramène au cas de la période grâce au changement de variable
Le nombre s'appelle fréquence fondamentale ou pulsation angulaire de
récurrence. Les multiples de la fréquence fondamentale, où sont appelés Harmoniques.
La série de Fourier d'une fonction admettant pour période est définie par la formule :
Les coefficients de Fourier sont donnés par les
formules :
II.6 CALCUL PRATIQUE DES COEFFICIENTS DE FOURIER [8]
Le calcul des coefficient de Fourier d'une fonction
périodique est généralement long et fastidieux.
Corolaire 2. 1 [8] soit une fonction définie sur R, 2périodique et intégrable sur .
- Si est paire, alors pour tout on a et
- Si est impaire, alors pour tout on a et
Démonstration : supposons que est paire, et considérons . En utilisant la relation de chasles, on obtient pour tout :
La fonction étant impaire, le changement de variable implique que
Ce qui implique que
On obtient aussi en utilisant le changement de variable , compte tenu de la parité de que pour tout
Cela implique que pour tout
Et que
Dans le cas où est impaire, les relation données s'obtiennent de façon
similaire. ?
II.7 FORME COMPLEXE D'UNE SERIE DE FOURIER [8]
La série de Fourier d'une fonction satisfaisant aux conditions du théorème de Léjeune-Dirichlet peut se mettre sous la forme complexe en
tout point x où elle converge. Dans ces conditions, nous pouvons
écrire :
Où
Nous allons montrer que les coefficients s'expriment simplement en fonction de sous la forme d'intégrales, voire plus simplement que les
coefficients .
Appliquons en effet les formules d'Euler :
De même
Il en découle aussitôt que
On remarque que Les coefficients de Fourier sous forme complexe sont donc deux à
deux conjugués. De plus, on passe de la formule à la formule en changeant et . Enfin, lorsqu'on remplace par dans l'une ou l'autre de ces formules, on trouve :
Ainsi, la formule est valable non seulement pour tout entier naturel non nul , mais aussi
En résumé,
Où, pour tout entier rationnel
Le cas d'une fonction de période se ramène au précédent, grâce encore au
changement de variable.
Ainsi,
Où, pour tout
Dans le cas où il est nécessaire de retrouver le
coefficient réel à partir des coefficients , il suffit de remarquer que
pour tout nombre réel 
représente souvent le temps.
grâce au changement de variable
s'appelle fréquence fondamentale ou pulsation angulaire de
récurrence. Les multiples 
de la fréquence fondamentale, où 
sont appelés Harmoniques.
admettant 
pour période est définie par la formule :
est généralement long et fastidieux.
une fonction définie sur R, 2
périodique et intégrable sur 
.
est paire, alors pour tout 
on a 
et 
est impaire, alors pour tout 
on a 
et 
est paire, 
et considérons 
. En utilisant la relation de chasles, on obtient pour tout 
:
étant impaire, le changement de variable 
implique que
, compte tenu de la parité de 
que pour tout 
est impaire, les relation données s'obtiennent de façon
similaire. ?
satisfaisant aux conditions du théorème 
de Léjeune-Dirichlet peut se mettre sous la forme complexe en
tout point x où elle converge. Dans ces conditions, nous pouvons
écrire :
s'expriment simplement en fonction de 
sous la forme d'intégrales, voire plus simplement que les
coefficients 
.
Les coefficients de Fourier sous forme complexe sont donc deux à
deux conjugués. De plus, on passe de la formule 
à la formule 
en changeant 
et 
. Enfin, lorsqu'on remplace 
par 
dans l'une ou l'autre de ces formules, on trouve :
est valable non seulement pour tout entier naturel non nul 
, mais aussi 
se ramène au précédent, grâce encore au
changement de variable.
à partir des coefficients 
, il suffit de remarquer que
[8]