Application de série de fourier à l'intégration de quelques EDP linéaires du second ordre

CHAPITRE III : APPLICATION DES SERIES DE FOURIER A L'INTEGRATION DE QUELQUES EDP LINEAIRES DU SECOND ORDRE.

III.1. METHODE DE SEPARATION DES VARIABLES

La méthode de séparation des variables, communément appelée de Fourrier, est largement utilisée aux EDP. Elle consiste à chercher des solutions particulières de la forme où X et Y sont des fonctions en x et y respectivement. Dans des nombreux cas, l'EDP se réduit à deux équations différentielles ordinaires pour X et Y. on obtient donc des problèmes aux limites impliquant des EDO. Cependant, la question de séparabilité d'une EDP en deux équations différentielles ordinaires au plus n'est pas toujours possible.

II.2 EQUATION DE LA CHALEUR

Considérons le problème sur l'intervalle [O, L] avec L 0 constitué de l'équation de la chaleur avec les conditions aux limites de type Dirichlet et la condition initiale

Où f est une fonction donnée et K une constante positive.

Pour ce problème, nous cherchons à déterminer des solutions non triviales de la forme où et sont des fonctions de x et t respectivement ayant au moins des dérivées premières et secondes continues.

ETAPE 1 : Remplaçons dans l'équation on obtient :

Puisque et sont des variables indépendantes, cette relation implique qu'il existe une constante appelée constante de séparabilité telle que :

Comme nous cherchons des solutions ne s'annulant pas identiquement, alors il existe

Conséquemment on obtient :

L'équation conduit au système d'EDOs suivant :

Et

Où est une constante (appelée valeur propres aux problèmes) aux limites.

ETAPE 2 : Commençons d'abord à résoudre le système . Une solution non triviale de est appelée fonction propre avec la valeur propre (constante de séparation), en distingue 3 cas :

1^er cas : si alors

où sont des constantes arbitraires.

Les conditions aux limites donnent :

De la première équation, on a la seconde équation implique donc :

Alors si , nous obtenons , ceci n'est pas possible car sont différent de 0 et par conséquent

Alors dans ce cas pour tout .

Nous devons donc exclure le cas de

2^ème CAS : si nous obtenons

Où sont des constantes arbitraires.

Les conditions aux limites impliquent

Comme , il est claire que , alors dans ce cas et pour tout Nous devons donc exclure ce cas =0.

3^ème CAS : alors

Où sont sont des constantes arbitraires.

Les conditions aux limites impliquent

Pour éviter la solution triviale on suppose que Ceci implique que Conséquemment

Il résulte que

Sont des valeurs propres de et les fonctions caractéristiques du problème est :

Comme pour tous il suffit donc de considérer

,

Il reste maintenant à résoudre le problème La solution de ce dernier est donnée par

A la fin de cette étape, nous pouvons considérer qu'on a bien construit une base hilbertienne.

ETAPE 3 : Utilisons maintenant le principe superposition générale pour générer à partir de et une solution plus générale du problème sous la forme d'une série infinie de solutions séparées. Nous avons ainsi obtenu la suite de solutions séparées :

Par principe de superposition impliquant que toute combinaison linéaire

La fonction est solution de l'équation de la chaleur.

Ceci conduit immédiatement à la question : peut-on écrire une fonction quelconque nulle pour sous la forme d'une série

?

La réponse est positive, comme on va le voir. Pour étudier la possibilité de en série de , on se ramène au cas bien connu des fonctions périodiques. On suppose que est continue sur , avec afin que les conditions aux limites soient vérifiées par la donnée initiale. On commence par prolonger sur en posant pour . Puisque , on peut encore prolonger à tout R en fonction continue, impaire et -périodique. De plus, si est de classe sur la fonction prolongée est par morceaux sur tout R. Avec ces hypothèses sur , le prolongement de , que l'on notera encore , se développe en séries de Fourier selon

Ce qui assure la convergence en tout point Les sont des coefficients de Fourier trigonométriques impaires de , le coefficient paire étant nul car est impaire.

Existence et unicité de la solution de l'équation de la chaleur :

L'analysemenée dans la section précédente permet d'obtenir un candidat solution de l'équation , et donc d'énoncer la proposition suivante :

Proposition  : soit avec . On peut prolonger en fonction impaire et périodique, que l'on note encore .

Notons

Son développement en série de Fourier, alors la fonction

est solution du problème avec régularité

Démonstration : posons pour tout

Les fonctions sont de classe sur . comme est continue et par morceaux, la série des coefficients de Fourier converge absolument,

La majoration

Valable pour tout démontre alors la convergence normale de la série de fonction sur cet ensemble. Ainsi, est continue sur

Soient Pour tout on a la majoration

Avec bornée car la série converge, donc, converge vers Nous avons donc la convergence uniforme de toutes les dérivées sur Ainsi est de classe sur pour tout et donc sur On peut alors dériver la série de terme à terme sur cet ensemble, ce qui donne

Pour tout

On peut maintenant se poser la question de l'unicité de la solution. Pour commencer, on annonce un principe de maximum pour l'équation de la chaleur.

Lemme 3.1 : soit Soit telle que

soient alors

Autrement dit atteint son maximum pour ou et

Démonstration : soit qui vérifie donc Soit un point de où atteint son maximum sur Supposons par absurde que Alors :

· donc, et

· donc,

Ainsi , ce qui contredit Donc, et

En prenant la limite quand on obtient

Théorème 3. 1 (d'unicité) le problème admet une solution unique

Démonstration : soit deux solutions de . Posons alors est aussi solution de et

Fixons puisque entraînent En faisant de même avec on obtient , d'où , pour tout Puis que T est arbitraire, on a bien

comment calculer les coefficients .

Remarquons :

Par conséquent, les coefficients de Fourier sont donnés par :

Puisque est orthogonale, nous obtenons la formule explicite de la solution formelle, qui est donnée par :

Où