III.2. EQUATION DES ONDES
L'équation des ondes sur l'intervalle [0, L] avec   dans   est donnée par
INTEGRATION DU PROBLEME
En fait, par la méthode de Fourier, posons
Et portons dans   , l'équation devient :
Comme nous cherchons des solutions non triviales
identiquement, alors il existe   Par conséquent, nous obtenons le système
Car les membres de gauche et de droite dépendent des
variables indépendantes   respectivement. C'est-à-dire que   est constante (il existe   )
Avec les conditions aux limites, on cherche les solutions non
nulles de   :
Les solutions dépendent de la constante 
1er CAS : si   alors
En tenant compte des conditions aux limites, la solution
vient :
Il n'y a pas de solutions non nulles dans ce cas.
2ème CAS : si   alors
Pour tout   c'est-à-dire il n'y a pas de solution non nulles dans ce cas.
3ème CAS : si   alors
  ou bien  
Il existe donc des solutions non nulles dans ce cas qui
sont :
Associées aux valeurs propres de  
Au total, on a obtenu une suite infinie de solutions
associées chacune à une valeur de   On appelle les solutions   les fonctions propres du problème et les   les valeurs propres associées.
La fonction propre, comme les vecteurs propres en
algèbre linéaire, est définie à un scalaire
multiplicatif près.
Le produit scalaire
orthogonalise toujours la suite des  
Si  
Si  
On résout l'équation   pour les valeurs de   trouvées précédemment et sans se préoccuper
de la condition initiale.  a pour solution lorsque   .
Comme il n'y a pas de conditions initiales à cette EDO
  nous trouvons un espace vectoriel de dimension 2 de solutions
  sont des conditions arbitraires.
A ce stade, les fonctions
Sont solutions de   et des conditions aux limites   et  
Mais pas de condition initiale.
Réécrivons la solution   comme somme de toutes les solutions élémentaires (par
principe de superposition).
Où   sont des constantes arbitraires.
Déterminons maintenant les coefficients   grâce aux conditions initiales  
Les constantes   peuvent donc s'interpréter comme étant les
coordonnées de la décomposition de   dans la base   soit
Quant à la condition   elle donne
Nous obtenons donc
III.3 EQUATION DE LAPLACE
L'équation de Laplace dans   est donnée par :
Par cette méthode, on pose toujours   où   sont fonctions données.
Dans ce cas, les conditions de comptabilité
sont :
En remplaçant   par   dans l'équation   , on obtient
Et donc, il y a une constante ë telle que :
La condition devient :   si non  
Cherchons les valeurs propres et les fonctions propres du
problème aux limites :
Nous trouvons que le spectre est  
Où  
Et une fonction propre associée à  est
Pour   la solution générale de
Est  
Où A et B sont des constants arbitraires.
Les solutions de   sont :
Est une solution générale de l'équation
  quelque soit N?N et les coefficients   .
Essayons de choisir N,   et   afin de satisfaire les conditions aux limites qui deviennent :
Ceci montre formellement
Dans ce cas, on peut déterminer N,   et   de la manière suivante :
Si   nous pouvons écrire :
Où tous, sauf le nombre fini, les coefficients   et   sont nuls.
Nous calculons en multipliant par   et intégrons entre 0 et L.
De même façon,
Donc, il suffit de choisir   et   tels que
Où  
La solution su système est :
La méthode de Fourier nous a permis donc de
résoudre le problème pour des fonctions  
Dans ce cas, la solution du problème sous forme de
séries de Fourier est :
L'hypothèse que   assure seulement qu'un nombre fini de constantes   sont nuls et donc il s'agit des sommes.
Notons que la solution vérifie les conditions de
comptabilité et est infiniment dérivable.
| 
