1.3 Propriétés de commandabilité d'une
classe de systèmes modélisant la nage de micro-organismes
[MS.3]
Dans cette section nous considérons un modèle de
dimension finie pour la nage d'un microorganisme dont la propulsion exploite
l'action d'un système de cilia couvrant sa surface. Les cilia
sont des cils vibratoires dont la taille est très petite par rapport
à celle du micro-organisme.
Un aspect fondamental des systèmes qui
modélisent la nage des micro-organismes est la forte viscosité
([26, 94, 111]). Cela permet de remplacer dans le modèle les
équations de Navier- Stokes qui décrivent l'évolution
temporelle du champ des vitesses du fluide qui entoure le microorganisme par
des équations de Stokes.
Le modèle pour la nage des micro-organismes couple
alors les lois de Newton régissant leur dynamique avec les
équations de Stokes. La description mathématique des
mécanismes de propulsion des micro-organismes (et donc du couplage entre
les lois de Newton et les équations de Stokes) a été
l'objet d'une riche littérature. Le mécanisme de propulsion
dépend bien sûr de l'espèce étudiée et donne
lieu à une grande variété de modèles (cf. par
exemple [10, 43, 59, 74]).
Le cas oil la propulsion est basée sur des cilia a
été décrit dans [27, 39, 59] et formulé comme un
système de contrôle de dimension finie par San Martín,
Takahashi et Tucsnak dans [101] (oil des premiers résultats de
contrôlabilité sont proposés). Le micro-organisme est
modélisé par un corps rigide et l'action des cilia par
une famille finie de m champs de vitesses sur sa surface qui
peuvent être directement contrôlés. Il est supposé
que le micro-organisme est entouré par un volume infini de fluide.
Le système de contrôle résultant est non
linéaire et défini dans un espace de dimension 12. Comme dans la
section précédente, les variables d'état sont les
coordonnées r E R3 du centre de masse de
l'organisme, son orientation A E SO(3), et
ses vitesses linéaire v E R3 et angulaire
|
ù ? R3. Le système a
la structure suivante :
|
|
|
zÿ
rÿ
|
=
=
|
Mz + E(z)
+ Bu, Av,
|
(1.4)
(1.5)
|
|
Aÿ
|
=
|
AS(ù),
|
(1.6)
|
|
où z = (v,
ù),
|
E(z) =
|
)
v ?
ù
J-1((Jù)
? ù)
|
et J est la matrice d'inertie du
micro-organisme. Les coefficients de la matrice 6 ×
6 M et de la matrice 6 × m B sont
obtenus, en resolvant des problèmes aux limites, à partir de la
forme du micro-organisme, de la distribution de sa masse et des champs de
vitesses decrivant l'action des cilia. La loi de commande
u est à valeurs dans Rm.
Une propriete importante du système ci-dessus est que
(1.4) est un système de contrôle bien defini dans R6,
ne dependant ni de r ni de A.
Rappelons qu'un système de contrôle
qÿ = F(q, u), u ?
U, est dit Lie bracket generating en un point
q si l'algèbre de Lie engendree par
{F(·, u) | u ? U}, evaluee
en q, est de rang maximal. On dit aussi, de façon
equivalente, que la famille de champs de vecteurs
{F(·, u) | u ? U} est Lie
bracket generating en q.
Nous avons le resultat suivant.
Proposition 1.9 Le système de
contrôle couplant (1.5),(1.6) et
zÿ = f(z,
u), z ? R6, u ?
Rm, (1.7)
est contrôlable si et seulement s'il est Lie bracket
generating en (z, r, A) = (0, Id3)
et si le système (1.7) est contrôlable.
Nous deduisons de la proposition 1.9 la genericite de la
contrôlabilite de (1.4)-(1.6) dans le sens suivant.
Théorème 1.10
Soit m = 3. Il existe alors un sous-ensemble ouvert
et dense O de {(M, B,
J) | J = JT >
0, M est symétrique et définie
négative
par rapport au produit scalaire associé à
diag(Id3, J)},
tel que (1.4)-(1.6) est commandable si (M,B,
J) ? O.
En particulier, il existe un sous-ensemble ouvert et
dense O de
{(Ù, Ø)
| Ù ? R3 ouvert connexe
borné non vide et de classe
C2, Ø ?
(C2(?Ù,R3))m}
par rapport à la topologie
C2 tel que si (Ù,
Ø) ? O alors le micro-organisme de forme
Ù et distribution de masse uniforme dont les champs de vitesses
contrôlés à la surface sont les composantes de
Ø est commandable.
Dans le cas où le micro-organisme est spherique et la
distribution de masse uniforme, nous avons que
M=
avec
-ñ1Id3 0
0 -ñ2Id3 ) ,
ñ2 >
ñ1 > 0.
Nous avons aussi que J est proportionnelle
à l'identité et donc
.
)
ù ? v
E(z) = 03
Notons par B1 et B2 les deux
matrices 3 × m telles que
)
B1
B = .
B2
Nous avons alors le résultat suivant.
Théorème 1.11 Supposons que
le micro-organisme soit de forme sphérique et que sa distribution de
masse soit uniforme. Alors (1.4)-(1.6) est commandable si et seulement si
B1 est non nulle et le rang de
B2 est égal à trois.
| 
