Risque de marché et théorie des valeurs extrêmes

INSTITUT DES HAUTES ÉTUDES ÉCONOMIQUES ET COMMERCIALES

MÉMOIRE DE RECHERCHE APPLIQUÉE

PEUT-ON EVITER LES CRISES ?

MESURE DU RISQUE DE MARCHÉ ET THÉORIE DES VALEURS EXTRÊMES :

UNE VISION QUANTITATIVE DU RISQUE EXTRÊME APPLIQUÉE À LA CRISE DES SUBPRIMES

MASTER : FINANCE DE MARCHÉ [SMT]

AUTEUR : JEAN MEILHOC

TUTEUR : ARNAUD AUBRY, QUANTITATIVE FUND MANAGER

DATE : 2 JUIN 2012

RÉSUMÉ

Les récentes crises financières et monétaires ont conduit le développement de nouveaux outils de protection contre le risque de marché. Le théorème de la limite centrale, qui décrit le comportement asymptotique de la moyenne d'un grand nombre de variables indépendantes, ne semble plus adéquat lorsque des événements rares ou extrêmes deviennent normes, comme lors de la crise des Subprimes. A ce titre, la Value-at-Risk, qui peut se définir comme le quantile déterminant la plus grande perte que peut subir un portefeuille avec une probabilité d'occurrence déterminé, permet de mesurer ce risque extrême. La théorie des valeurs extrêmes (TVE), étudiée dans le cadre de la recherche d'évènements rares d'une suite de variables aléatoires indépendantes, associée à la Value-at-Risk peut être un excellent indicateur. Ce mémoire de recherche prend son essence dans la recherche des valeurs extrêmes appliquées à la Value-at-Risk, afin d'y élaborer un modèle de prévention du risque cohérent.

MOTS-CLÉS : FINANCE QUANTITATIVE ; MODÉLISATION MATHÉMATIQUE ; PROBABILITÉS ET STATISTIQUES ; RISK MANAGEMENT ; THÉORIE DES VALEURS EXTRÊMES ; VALUE-AT-RISK (VAR)

ABSTRACT

Financial crises have become a principal concern to lead the development of new market risk indicators. The central limit theorem, which describes the average asymptotic behavior of a random process, does not characterize rare or extreme events, like subprime mortgage crises do. Value at Risk (VaR) is defined by risk exposure at a given probability level at a specified time horizon. Computing extreme value theory (EVT), focusing on the tails of the sample distribution, is an excellent approach for its use in managing risks. This research paper presents an application of extreme value theory to compute to Value-at-Risk of a market position in order to provide a consistent risk measurment.

KEY-WORDS : QUANTITATIVE FINANCE ; MATHEMATICAL MODELING ; PROBABILITY AND STATISTICS ; RISK MANAGEMENT ; EXTREME VALUE THEORY ; VALUE-AT-RISK (VAR)

Sommaire

Introduction 6

I. Section théorique 10

I.I. Modèle de fréquence des rentabilités anormales 10

I.I.1 Taux de rentabilités normales et anormales 11

I.I.1.1 Processus d'évaluation 11

I.I.1.2 Procédure de test 12

I.I.2 Calcul des rentabilités anormales 12

I.I.2.1 Modèles théoriques 12

I.I.2.1.1 Modèle de moyenne 13

I.I.2.1.2 Modèle de marché 13

I.I.2.2 Évaluation des paramètres 14

I.I.3 Rentabilités anormales 16

I.I.4 Test de significativité 17

I.I.4.1 Moindres carrés ordinaires 17

I.I.4.2 Rentabilités anormales transversales et cumulés 19

I.I.4.3 Méthode de Brown et Warner 19

I.I.4.4 Méthode de Pattel 20

I.I.4.5 Méthode de Bohemer, Musumeci et Poulsen 20

I.II. Mesure du risque 22

I.II.1 Mesure du risque gaussien 25

I.II.1.1 Distribution de gauss 25

I.II.1.2.1 Loi des grands nombres 25

I.II.1.2.2 Loi de Gauss 26

I.II.1.2 Value-at-Risk classique 27

I.II.2 Distribution des valeurs extrêmes 29

I.II.2 1 Études fondamentales 30

I.II.2.2 Lois des maxima : résultat exacts 31

I.II.3 Mesure du risque extrême 33

I.II.3.1 Théorème de Fisher-Tippet 33

I.II.3.1.1 Modélisation paramétrique des maxima par blocs 36

I.II.3.1.2 Sélection de la taille des blocs 36

I.II.3.1.3 Estimation du modèle BM par le maximum de vraisemblance 36

I.II.3.2 Théorème de Balkema-de Haan-Picklands 39

I.II.3.2.1 Modélisation paramétrique de la distribution des excès 42

I.II.3.2.2 Estimation du modèle de seuil par le maximum de vraisemblance 43

I.II.3.3 4 Value-at-Risk extreme 43

II. Section empirique 46

II.I Mesure des fréquences anormales 46

II.I.1 Processus 46

II.I.2 Taux de rentabilités normales et anormales 52

II.I.2.1 Fréquences normales 52

II.I.2.2 Fréquences anormales 53

II.I.3 Résultat des fréquences anormales 54

II.I.3.1 Rentabilités anormales stationnaires 54

II.I.3.2 Rentabilités anormales cumulées 55

II.I.4 Test de significativité 56

II.II. Théorie des valeurs extrêmes et Value-at-Risk 58

II.II.1 Analogie statistique de la distribution des rendements et maximum de vraisemblance 59

II.II.1.1 Analogie statistique de la distribution des rendements 60

II.II.1.1.1 Comportement limite de la loi exponentielle 60

II.II.1.1.2 Comportement limite de la loi de Pareto 62

II.II.1.1.3 Comportement limite de la loi normale 63

II.II.1.2 Maximum de vraisemblance 65

II.II.2 Modèle de sélection de maxima 66

II.II.2.1 Réalité erratique 66

II.II.2.2 Sélection de seuil 69

II.II.3 Value-at-Risk 71

II.II.3.1 Couverture conditionnelle 72

II.II.3.2 Modèle de rentabilité ajustée du risque 75

Conclusion 78

Bibliographie 81

Annexes 85

A. Graphiques : Sélection de seuil 86

B. Stratégie : Synthèse générale 87

C. Graphiques : VaR 91

D. Stratégie 92

E. Visual Basic Application : Loi de valeurs extrêmes 94

F. Visual Basic Application : Loi de probabilité 96

G. Origines macroéconomiques de la crise des subprimes 100

REMERCIEMENT

Nous tenons à remercier sincèrement M^r Aubry pour avoir accepté d'encadrer ce mémoire. Ses orientations, ses conseils et ses contacts nous ont permis de mener à bien cette recherche. Je remercie aussi tout particulièrement M^r Assemat, directeur du pôle finance de marché, pour avoir su transmettre sa passion et son esprit d'analyse. Enfin, nous souhaitons remercier également M^r Rudelle, professeur d'économie et M^r Viar, professeur de mathématiques, sans qui tout cela n'aurait été possible.